Направления исследований кафедры

Научные исследования проводятся  в рамках научно–педагогической школы «Аналитические и численные методы решения уравнений математической физики»,  организованной на кафедре в 1983 г. Организатором и бессменным руководителем школы до 2024 года являлся д.ф.-м.н., профессор И.В. Бойков. 

По результатам исследований защищено 17 кандидатских диссертаций (руководитель д.ф.-м.н., профессор И.В. Бойков).

ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ КАФЕДРЫ: 

1. Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений.
Предложены и обоснованы проекционные методы решения линейных и нелинейных сингулярных, полисингулярных и многомерных сингулярных интегральных уравнений на различных классах функций. Рассмотрены уравнения на замкнутых и разомкнутых контурах. Для линейных сингулярных интегральных уравнений построены оптимальные по точности (по порядку) методы решения. Предложены и обоснованы приближенные методы решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений. Полученные результаты применены при решении ряда задач электродинамики.
Результаты исследований частично отражены в работах:
Бойков И.В. Приближенные методы решений сингулярных интегральных уравнений. Пенза: Изд-во ПГУ. 2004. 316 с.
Бойков И.В., Пивкина А.А. Приближенные методы решения вырожденных сингулярных интегральных уравнений // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 1 (65). С. 15-27.
Boykov I.V., Boykova A.I., Potapov A.A., Rassadin A.E. Approximate methods for solving hypersingular integral equations on fractals // В сборнике: Springer Proceedings in Complexity. 14th. Сер. "14th Chaotic Modeling and Simulation International Conference" 2022. С. 81-95.
Бойков И.В., Кудряшова Н.Ю., Шалдаева А.А. К вопросу о разрешимости полисингулярных интегральных уравнений в вырожденных случаях // В сборнике: Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем. Материалы XIV Международной научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Под редакцией И.В. Бойкова. 2020. С. 12-18.
Пивкина А.А., Бойков И.В. Программа для приближенного решения сингулярного интегрального уравнения Амбарцумяна сплайн-коллокационным методом со сплайнами нулевого и первого порядков // Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RU 2022616628, 15.04.2022. Заявка от 04.04.2022.
Игумнова В.В., Кудряшова Н.Ю. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений на отрезках // В сборнике: Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем. материалы XVI Всероссийской с международным участием научно-технической конференции молодых специалистов, аспирантов и студентов. Пенза, 2022. С. 72-77.

2. Оптимальные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов.
Предложены методы построения оптимальных, асимптотически оптимальных по порядку (по точности и сложности) методов вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Оптимальные квадратурные формулы получены для одномерных и гиперсингулярных интегралов на различных классах функций. Рассмотрены и адаптивные методы вычисления.
Результаты исследований частично отражены в работах:
Бойков И.В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть первая. Сингулярные интегралы. Пенза: Изд-во ПГУ. 2005. 360 с.
Бойков И.В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть вторая. Гиперсингулярные интегралы. Пенза: Изд-во ПГУ. 2009. 252 с.
Бойков И.В., Айкашев П.В. Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 1 (57). С. 66-84.
Бойков И.В., Бойкова А.И. Об одном методе построения квадратурных формул для вычисления гиперсингулярных интегралов // Сибирский журнал вычислительной математики. 2022. Т. 25. № 3. С. 249-267.

3. Теория аппроксимации.
Исследованы методы наилучшей аппроксимации ряда классов функций, к которым принадлежат решения эллиптических уравнений, слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Эти классы состоят из функций, определенных в конечных областях, имеющих ограниченные производные до r-го порядка в замкнутой области и производные до s-го порядка (s>r) во внутренних точках областей, причем модули производных q-го порядка s≥q>r растут как степенные функции от обратной величины расстояние от точки до границы области. Оценены поперечники Колмогорова и Бабенко указанных классов функций. Построены сплайны, являющиеся наилучшим по порядку методом приближения этих классов функций.
Результаты исследований частично отражены в работе Бойков И.В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления интегралов. Пенза: Изд-во ПГУ. 2007. 236 с.
Бойков И.В., Бойкова А.И. Теория приближения. Часть 1 : Учебное пособие. Изд-во ПГУ, 2023, 116 с.
 

4. Аналитические и численные методы идентификации параметров динамических систем.
Исследуются аналитические и численные методы идентификации параметров динамических систем, описываемых  обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных, линейными и нелинейными уравнениями в свертках. Исследуются итерационные методы восстановления входных  сигналах в системах с искажениями (зашумление, аберрация и т.д.).
Исследуются методы одновременного восстановления входных сигналов и аппаратных функций в динамических системах, описываемых уравнениями в свертках.

5.  Приближенное решение прямых и обратных задач гравиметрии.
Работа проводится в следующих направлениях:
1) исследуется гладкость потенциальных полей, создаваемых различными тяготеющими массами в различных областях, и определяются классы функций, к которым принадлежат потенциальные поля,
2) строятся оптимальные, асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку методы аппроксимации потенциальных полей, принадлежащих различным классам функций;
3) исследуются численные методы решения уравнений в свертках;
4) строятся оптимальные методы трансформации потенциальных полей. В основу построения положены оптимальные методы вычисления гиперсингулярных интегралов;
5) разрабатываются приближенные методы продолжения потенциальных полей на плоскости и в пространстве;
6) разрабатываются проекционные и проекционно-итерационные методы решения обратных задач логарифмического и ньютоновского потенциалов в линейной и нелинейной постановках.

6.  Математические модели иммунологии.
Исследуется устойчивость математических моделей иммунологии, описывающих иммунный ответ организма на различных заражениях. Рассматриваются базисная (основная) модель и модели иммунного ответа на вирусные и бактериальные заболевания, предложенные Г.И.Марчуком, при следующих обобщениях:
а) параметры систем зависят от времени;
б) введены логистические слагаемые, учитывающие конкуренцию между антигенами и ограниченные ресурсы  организма;
в) рассматриваются модели, распространенные в пространстве.

7.  Математические модели медицины.
Исследуются методы дискретной идентификации состояния костной массы пациента, основанные на обработке и анализе графических изображений, получаемых с помощью денситометров. Методы основаны на вычислении площадей (в пикселах) различных цветовых областей изображения. Применение данных методов даст возможность оценить масштабы пораженных областей и областей с различным отклоняющимся от нормы уровнем плотности костной ткани, а также прогнозировать динамику развития и лечения заболевания. 
Исследования проводятся совместно с кафедрой "Педиатрия" ПГУ.

8. Устойчивость решений дифференциальных уравнений. 
Исследуется устойчивость решений систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздываниями, систем параболических и гиперболических уравнений. Рассматриваются методы стабилизации перечисленных выше уравнений. Рассматриваются системы уравнений с дробными производными.